範疇不是發明來研究函子；我是為了研究自然轉換才發明函子的。從 Mac Lane 的話來說，範疇論最重要的部分是自然轉換，而此概念也會反覆用在函數編程（functional programming）上，尤其是 monad 在 Categories for Working Mathematician （CWM）定義由函子與自然轉換所構成，並且等價於 Haskell 中的定義。這兩者定義，在近年來討論 "effectful" programming 跟 algebraic effect 發揮相當的影響力。
S. Mac Lane (範疇論的創始者), Categories for Working Mathematician §I.4, 1988
函子（functor）
近代數學中我們先探討何種「操作」跟「特別的元素」（抽象上，操作跟特別的元素是一樣的）是我們所關心的，而結構間的態射就定義為相容於操作的函數。舉例來說，可以對字串作「串接」：將字串 $latex s = s_1 \dots s_n$跟字串 $latex t = t_1 \dots t_m$ 接在一起變成字串 $latex st = s_0 \dots s_n t_0 \dots t_m$，我們說一字串上的函數「保持串街」若先將字串 $latex s, t$ 作串街再套用函數，其結果跟先套用函數於字串再作串街會是一樣的。而範疇我們所定義的操作，只有態射間的合成，因此我們有以下的定義： 給定兩個範疇 $latex C, D$，一個函子（functor）$latex F : C \rightarrow D$ 組成有- 對每個物件的對應：$latex F_{Obj} : Obj(C) \rightarrow Obj(D)$
- 對每個態射的對應：$latex F_{Mor} : Mor(C) \rightarrow Mor(D)$
- 保持定義域與值域：$latex F$ 作用於態射 $latex f : a \rightarrow b$ 為一個從 $latex Fa$ 到 $latex Fb$ 的態射。因此，我們可以將 $latex F_{Mor}$ 寫成對所有物件 $latex a, b$ 的態射對應 $latex F_{a, b} : hom(a, b) \rightarrow hom(Fa, Fb)$。
- 保持單位態射：對每個單位態射 $latex id_a : a \rightarrow a$ 其對應仍是單位態射 $latex F(id_a) = id_{Fa} : Fa \rightarrow Fa$。
- 保持態射間的合成：對態射 $latex f : a \rightarrow b, g : b \rightarrow c$ 有 $latex F(g \circ f) = Fg \odot Ff : Fa \rightarrow Fc$ 其中 $latex \circ$ 表示 $latex C$ 上的合成，後者 $latex \odot$ 代表 $latex D$ 上的合成（通常範疇上的考慮的合成只有一個時，統一用 $latex \circ$ 作為合成的符號）。
- 固定一個集合 $latex A$，我們都可以定義一個函子 $latex A\times(-) : \mathbf{Set} \rightarrow \mathbf{Set}$ 如下。每個集合 $latex X$ 都對應到 $latex A \times X = \{ (a, x) : a \in A, x \in X \}$ ；每個函數 $latex f : X \rightarrow Y$ 對應到一個函數 $latex A \times X \rightarrow A \times Y$ 將 $latex (a, x)$ 送到 $latex (a, f(x))$。同樣地，我們也可以定義 $latex (-) \times A$ 函子，將集合 $latex X$ 對應到 $latex X \times A$。注意，這兩個函子並不相同，對應到的集合根據定義是不一樣的。
- 同樣如上固定一個集合，可以另外定義函子 $latex K_A : \mathbf{Set} \rightarrow \mathbf{Set}$ 將所有的集合都對應到集合 $latex A$，且任意函數 $latex f : X \rightarrow Y$ 到 $latex A$ 的單位函數 $latex id_A : A \rightarrow$。像這樣的函子，我們通常稱為常數函子（constant functor）。
- 給定任意集合 $latex X$，將其對應到 $latex X \times X = \{ \langle x, y\rangle \in X \times X \}$。任意函數 $latex f : X \rightarrow Y$ 可以對應到 $latex f \times f : \langle x, y\rangle \mapsto \langle fx, fy\rangle$。一般會說這是一個對角函子（diagonal functor） $latex \Delta : \mathbf{Set} \rightarrow \mathbf{Set}$。
自然轉換（natural transformation）
接下來談函子之間的態射：自然轉換（natural transformation）。前面說到，函子是範疇間保持範疇結構的對應，同樣地，對於函子我們也有類似的概念，保持函子間的結構。給定兩個函子 $latex F, G : C \rightarrow D$，我們說一個從 $latex F$ 到 $latex G$ 的自然轉換 $latex \tau : F \rightarrow $ 為一系列在 $latex D$ 的態射 $latex (\tau_c : Fc \rightarrow Gc)_{c \in Obj(C)}$ 滿足條件：對每個態射 $latex f : c \rightarrow d$，式子 $latex \tau_d \circ Ff = Gf \circ \tau_c$ 成立，或者用箭頭表示態射，用以下的交換圖（commutative diagram）代表等式成立：
\[
\xymatrix{
Fc \ar[r]^{\tau_c} \ar[d]_{Ff}& Gc \ar[d]^{Gf}\\
Fd \ar[r]_{\tau_d} & Gd
}
\]
函子範疇（functor category）
前面說自然轉換保持函子的結構，那麼保持了什麼東西呢？函子由兩個對應所組成，一個是物件上的對應，另一個是態射上的對應，而根據定義，$latex \tau : Obj(C) \rightarrow Mor(D)$ 保持了物件上的對應，使得我們有 $latex (\tau_c Fc \rightarrow Gc)_{c \in Obj(C)}$；另外，態射上的對應，自然性的交換圖說明了 $latex \tau$ 將 $latex Ff : Fc \rightarrow Fd$ 對應到 $latex Gf : Gc \rightarrow Gd$。事實上，函子與自然轉換足以構成一個範疇，給定兩個範疇 $latex C, D$ 定義範疇 $latex Fun(C, D)$ 或寫成 $latex [C, D]$ 稱為函子範疇(functor category)：
- 物件組成為所有 $latex C $到 $latex D$ 的函子
- 態射組成為所有 $latex Fun(C, D)$ 上的自然轉換
用這個函子範疇我們可以表達很多其他的範疇，例如說：
- 對任意的範疇 $latex C$，定義 $latex C^\rightarrow := [2, C]$ 一般稱為 arrow category。$latex 2$ 我們用來代表一個只有兩個物件$latex 0, 1$，以及除了單位態射以外只有一個態射 $latex 0 \rightarrow 1$。這樣的範疇由 $latex C$ 上的態射構成，而 $latex C$-態射間的 $latex C^\rightarrow$-態射 $latex f \rightarrow g$ 由以下的交換圖構成： \[\xymatrix{a \ar[r] \ar[d]_f & c \ar[d]^g \\ b \ar[r] & d}\] 備註：用數字來代表範疇可能有點突兀，不過在公設化集合論下，對任意自然數 $latex n$ 是一個包含 $latex n$ 個元素的集合 $latex \{0, ..., n-1\}$ 所以集合的屬於關係跟自然數的小於是一樣的，$latex 2$ 可以看作是一個 preordered set，可以當作是一個範疇。因此上面的符號定義雖然很容易困惑，但並不是隨意拼湊出來的。
- （給數學背景的人）給定群 $latex G$ 本身，可以看作是只有一個物件範疇：每個元素 $latex a \in G$ 可以看作是一個態射 $latex \cdot \xrightarrow{a} \cdot$，而單位態射是單位元素。而所謂群作用的 G-Set，其實是從 $latex G$ 到 $latex Set$ 的函子，而函子範疇 $latex [G, Set]$ 代表所有群作用構成的範疇。這個範例是 topos 重要的例子之一，有機會再說。
- 給定任意範疇 $latex C$ ，每個從 $latex C^\mathrm{op}$ 到 $latex \mathbf{Set}$ 稱為 presheaf ，一個經典的例子是：對任意的局部小範疇（「局部小(locally small)」代表每個 $latex hom(c, d)$ 都是小集合）以及給定的物件 $latex c$，定義函子 $latex hom(-, c)$ 將任意物件 $latex d$ 對應到 $latex hom(d, c)$；而任意態射 $latex g : d \rightarrow d'$，可以將態射 $latex d' \rightarrow c$ 對應到態射 $latex d \rightarrow c$ 也就是 $latex hom(d', c) \rightarrow hom(d, c)$ 如下圖：\[\xymatrix{ d \ar[r]^{g\circ f} \ar[d]_{g} & c \\ d' \ar[ru]_{f}}\] 而由 presheaf 構成的函子範疇即為 the category of presheaves $latex [C^{\mathrm{op}}, \mathbf{Set}]$。
Yoneda 引理
最後我們來看看第一個有關範疇的重要結果：Yoneda lemma。許多範疇的基本概念可以由這個結果推得出來，在集合上我們說兩集合一樣，若他們有同樣的元素。在範疇論下我們沒辦法直接說物件的元素，但是我們可以將態射當作是元素，則物件決定於所有到該物件的態射，而我們可以將範疇嵌入在一個性質更豐富的範疇，使得我們能夠用更多工具去研究原本關心的範疇，稍後會把這點說得更精確。給定一個局部小範疇 $latex C$ ，任意的 presheaf $latex K : C^\mathrm{op} \rightarrow \mathbf{Set}$ 以及任意物件 $latex c$ 以下成立 \[ Nat(hom(-, c), K) \cong Kc \] 其中 $latex Nat(hom(-, c), K)$ 代表所有從 $latex hom(-, c)$ 到 $latex K$ 的自然轉換。
（待續）
證明：根據 naturality，對任意態射 $latex f : d \rightarrow c$ 每個自然轉換 $latex \tau$ 都有以下的交換圖
\[\xymatrix{ hom(c, c) \ar[r]^{\tau_c} \ar[d]_{-\circ f} & Kc \ar[d]^{Kf} \\ hom(d, c) \ar[r]_{\tau_d}& Kd}\]考慮 $latex c$ 上的 identity，我們有 $latex \tau_d(f) = Kf \circ \tau_c(id_c)$。因此 $latex \tau$ 只由 $latex \tau_c(id_c) \in Kc$ 決定，也就是說，對任意元素 $latex \sigma' \in Kc$ 我們定義 $latex \sigma_c(id) = \sigma'$ 則可以得到自然轉換 $latex \sigma : hom(-, c) \rightarrow K$。
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