函子範疇與 Yoneda Lemma（二）

前面一口氣介紹了函子，自然轉換，函子範疇跟 Yoneda 引理。接下來，我們要談談有關 Yoneda 引理代表了什麼意義。

物件其實就像是集合，只不過⋯⋯

首先，從 Yoneda 引理我們可以推得，考慮的函子 $K : C^{\mathrm{op}} \rightarrow \mathbf{Set}$ 換成 $hom(-, d)$ 得到：
$$\hom(c, d)\cong[C^{\mathrm{op}}, \mathbf{Set}](hom(-, c), hom(-, d))$$ 其中用 $[C^\mathrm{op}, \mathbf{Set}]$ 代表從 $C^\mathrm{op}$ 到 $\mathbf{Set}$ 的函子範疇，而 $[C^\mathrm{op}, \mathbf{Set}](hom(-, c), hom(-, d))$  代表這個函子範疇所有從 $hom(-, c)$ 到 $hom(-, d)$ 的自然轉換。


這個同構式代表，所有在 $c$ 跟 $d$ 之間的態設可以看作是 $hom(-, c)$ 到 $hom(-, d)$ 的態射。因此，若我們有一個自然同構（natural isomorphism）$\tau : hom(-, c) \rightarrow hom(-, d)$ 也就是對每個物件 $a$ 我們都有一對一的對應 $hom(a, c) \cong hom(a, d)$ 且滿足自然性，則 $c$ 跟 $d$ 同構。證明如下：

先令 $\mathcal{Y}(c)$ 代表 $hom(-, c)$ 函子，$\mathcal{Y}$ 本身是一個從範疇 $C$ 到範疇 $[C^\mathrm{op}, \mathbf{Set}]$ 的函子。 

若我們有 $\tau : \mathcal{Y}(c) \rightarrow \mathcal{Y}(d)$ 跟 $\tau^{-1} : \mathcal{Y}(d) \rightarrow \mathcal{Y}(c)$，則根據 Yoneda 引理，存在 $f : c \rightarrow d$ 使得 $\tau$ 可寫成 $\mathcal{Y}(f)$，同理存在 $f^{-1} : d \rightarrow c$ 使得 $\tau^{-1} = \mathcal{Y}(f^{-1})$。則同構的等式可寫成 $$\mathcal{Y}(f) \circ \mathcal{Y}(f^{-1}) = \mathcal{Y}(f \circ f^{-1}) = id = \mathcal{Y}(id)$$ 因為 $\mathcal{Y}(c)$ 跟 $\mathcal{Y}(d)$ 間自然轉換跟 $c$ 跟 $d$ 態射有一對一的對應 $\mathcal{Y}(f \circ f^{-1}) = \mathcal{Y}(id)$ 代表 $f \circ f^{-1} = id$。反之，我們也可以證明 $f^{-1} \circ f = id$，所以 $c$ 跟 $d$ 同構。

（一般來說若函子 $F$ 在態射 $F_{c, d} : hom(c, d) \rightarrow hom(Fc, Fd)$ 上是一對一對應的話 $Fc$ 跟 $Fd$ 同構就可以推得 $c$ 跟 $d$ 同構。證明方式同上）

如此一來，我們可以發現兩個物件是被所有進到（或出去）該物件的態射所決定的！若要用集合論來想，我們可以將態射 $c' \xrightarrow{f} c$ 當作是物件 $c$ 的元素，而當兩物件所有的態射有一對一的對應關係時，兩者就是同構，在範疇上有共同的性質。

當然，如果一次要考慮所有的態射可真是讓人頭大，所以我們希望能夠縮小考慮的範圍，在某些範疇下這的確可行。用集合來說，給定集合 $X$ 每一個元素 $x \in X$ 都可以寫成一個從只有一的元素到 $X$ 的函數 $\{ * \} \xrightarrow{\bar{x}} X$，當然這個函數在這個唯一的元素對應的正是 $x$ 本身。而任兩個集合 $X, Y$ 同構，相當於說兩個集合之間存在一的一對一的關係，同等於 $hom({*}, X)$ 與 $hom({*}, Y)$ 有一對一的關係。也就是說，我們只需要考慮 $\{*\}$ 從這個集合出發的態射就夠了！

Yoneda 論證模式

從前面的結果來看，我們要證明物件的同構，用他們的態射來看就足夠了。例如說，我們想要證明集合 $X + Y$ （disjoint union）跟 $Y + X$ 是同構的，除了直接夠造出 $X + Y$ 跟 $Y + X$ 之間的對應關係，我們可以觀察：所有從 $X + Y$ 到任一集合 $Z$的函數都可以寫成兩個函數分別從 $X$ 與 $Y$ 到 $Z$ 也就是有一對一的關係 $hom(X + Y, Z) \cong hom(X, Z) \times hom(Y, Z)$。因此，根據集合的性質 $A \times B \cong B \times A$ ，我們可以直接推得對所有的集合 $Z$ 都有 $hom(Y + X, Z) \cong hom(X+Y, Z)$ 且滿足自然性因此 $Y + X \cong X + Y$。

這個例子雖然很簡單無聊，但我們可以將 disjoint union $+$ 換成 topology 的 topological sum 然後在拓樸範疇下這個論證依然成立（理由是拓樸的 topological sum 是範疇上的 coproduct）。我們之後遇到更複雜的計算或甚至有伴隨函子（adjoint functor）時，這個論證模式可以很清楚地寫成同構式，一步一步的計算推出結果。之後要證明物件地同構時，我們也會常常用到這個模式論證。

所有的範疇都可以嵌在更大的範疇內⋯⋯

在數學中，我們時常擴大考慮的數學結構以方便討論，例如說我們會在實數內考慮整數，用微積分的技巧去推算整數等使得我們可以用更多的工具去計算。或者，求解多項式的根時，即便考慮的都是整數系數，其解也不見得落在整數上。同樣地，範疇也有一套方法能夠將考慮的範疇放到更大的範疇內考慮，用的便是前面證明用到的 $\mathcal{Y} : C \rightarrow [C^\mathrm{op}, \mathbf{Set}]$ 函子。

根據前面的推論，每個 $\mathcal{Y}(c)$ 跟 $\mathcal{Y}(d)$ 間的態射，都可以看作是 $c$ 跟 $d$ 的態射，這樣一來，物件 $c$ 跟 $\mathcal{Y}(c)$ 並沒有什麼不同，但是 $\mathcal{Y}(c)$ 是在 $[C^{\mathrm{op}}, \mathbf{Set}]$ 這個更大的範疇下，也就是我們多了其他不是 $\mathcal{Y}(c)$ 的物件。這個函子範疇性質多了不少原本可能沒有的性質，之後我們有機會再說。

 Yoneda 引理在範疇論上會反覆使用，代表的意義也讓人能夠更容易理解範疇的具體概念。

參考資料：

1. S. Mac Lane, Categories for Working Mathematician, 2/e, Springer, 1998