範疇的(上)完備化構造

用這篇來展示如何用 MathJax 的擴充套件 XyJax 繪製 Xy-pic 的交換圖。

對任意小範疇（small category）$\mathscr{C}$，無論 $\mathscr{C}$ 是否有上極限，我們都可以購造出一範疇 $\widehat{\mathscr{C}}$ 具備所有的（小圖的）上極限，將 $\mathscr{C}$ 透過函子 $E\colon \mathscr{C}\to\widehat{\mathscr{C}}$ 嵌入 $\widehat{\mathscr{C}}$ 之中，並且對任意函子 $F\colon\mathscr{C} \to \mathscr{D}$ 至一個上完備的範疇 $\mathscr{D}$ 都有一個上連續函子 $\widehat{F}\colon\widehat{\mathscr{C}}\to\mathscr{D}$ 擴充 $F$ 使得 $F \cong \widehat{F}E$。

用 coend 證明所有的 $\mathbf{Set}$-valued functor 都是 representable functors 的上極限

範疇論上有些計算看似非常嚇人，最初看 MacLane 的 Categories for the Working Mathematicians 對我來說完全沒有線索的定理是

所有的 $F\colon \mathscr{C} \to \mathbf{Set}$ 都是 representable functors 的上極限

一來是用意不明；另一點是，證明極其複雜看不出端倪，用兩頁的篇幅證明這個定理，接下來提到 sheave 是這樣的 functor 的特例就結束。然而，如果我們用 coend 來計算，證明會簡短許多，看起來不那麼嚇人。

首先，我們應用 Yoneda 引理，試圖拆解一個 $F\colon \mathscr{C} \to \mathbf{Set}$ 如下：
\[
  \begin{align*}
    & [\mathscr{C}, \mathsf{Set}](F, G) \\
     \cong& \int_c \mathscr{C}(Fc, Gc)\\
     \cong& \int_c \mathscr{C}(Fc, [\mathscr{C}, \mathsf{Set}](\mathscr{C}(c, -), G))
    & \{\text{藉由 Yoneda 引理}\} \\
     \cong &\int_c [\mathscr{C}, \mathsf{Set}](Fc \cdot \mathscr{C}(c, -),
    G)
    & \{\text{藉由 copower 的性質}\}\\
     \cong &[\mathscr{C}, \mathsf{Set}](\int^c Fc \cdot \mathscr{C}(c, -),
    G)
    & \{\text{藉由 representable functor 的保持性質}\}
  \end{align*}
\]
然而，我們知道 coend 可寫成 $\displaystyle{\prod_{c \in \mathscr{C}} Fc \cdot \mathscr{C}(c, -)}$ 的 coequaliser，証畢。

轉換平台

嘗試改用 blogger 寫有關 category theory 跟數學上的筆記，主要理由是原本的 Wordpress.com 在數學的呈現上不是非常恰當，而且麻煩。有鑒於計算上越來越複雜，想要有個簡單但又能完美呈現，得依賴 MathJax，在 Wordpress.com 的限制下，不得不出走。

至於 MathJax 呈現上有多漂亮呢？這點從 MathOverflow 就可以很清楚地瞭解。同時 MathJax 提供 $\LaTeX$ & $\TeX$ 的語法（詳情），相較於 Wordpress.com 呈現的方式來看，高下優劣頗為明顯了。

接下來會先整理舊有 blog 的資料，順便寫一些相對困難的東西，就先這樣了。