範疇的(上)完備化構造

用這篇來展示如何用 MathJax 的擴充套件 XyJax 繪製 Xy-pic 的交換圖。

對任意小範疇（small category）$\mathscr{C}$，無論 $\mathscr{C}$ 是否有上極限，我們都可以購造出一範疇 $\widehat{\mathscr{C}}$ 具備所有的（小圖的）上極限，將 $\mathscr{C}$ 透過函子 $E\colon \mathscr{C}\to\widehat{\mathscr{C}}$ 嵌入 $\widehat{\mathscr{C}}$ 之中，並且對任意函子 $F\colon\mathscr{C} \to \mathscr{D}$ 至一個上完備的範疇 $\mathscr{D}$ 都有一個上連續函子 $\widehat{F}\colon\widehat{\mathscr{C}}\to\mathscr{D}$ 擴充 $F$ 使得 $F \cong \widehat{F}E$。

構造方式如下：先考慮 Yoneda embedding $\mathcal{Y}\colon\mathscr{C} \to [\mathscr{C}^{\mathrm{op}}, \mathbf{Set}]$ 將任意 $c \in \mathscr{C}$ 的物件送到 $\mathscr{C}(-, c)$ 函子。由於 $\mathbf{Set}$ 是一個上完備範疇，且函子的極限可由物件來計算，因故 $[\mathscr{C}^{\mathrm{op}}, \mathbf{Set}]$ 為上完備範疇。
從 Yoneda 引理得知，Yoneda embedding 是一個 full 且 faithful 的函子。

接下來考慮完備化的 universal property：對任意函子 $F\colon \mathscr{C} \to \mathscr{D}$，因為 $\mathscr{D}$ 為上完備，所以 $\mathrm{Lan}_{\mathcal{Y}} F$ 存在。

$$\xymatrix{ \mathscr{C} \ar[r]^-{\mathcal{Y}} \ar[rd]_{F} & [\mathscr{C}^{\mathrm{op}}, \mathbf{Set} ] \ar@{-->}[d]^{\mathrm{Lan}_{\mathcal{Y}}F } \\ & \mathscr{D} }$$

接下來不難證明 $\mathrm{Lan}_{\mathcal{Y}} F$ 是 $\mathscr{D}(F, -)$ 的 left adjoint，故上連續，得證。