所有的 F:C→Set 都是 representable functors 的上極限一來是用意不明;另一點是,證明極其複雜看不出端倪,用兩頁的篇幅證明這個定理,接下來提到 sheave 是這樣的 functor 的特例就結束。然而,如果我們用 coend 來計算,證明會簡短許多,看起來不那麼嚇人。
首先,我們應用 Yoneda 引理,試圖拆解一個 F:C→Set 如下:
[C,Set](F,G)≅∫cC(Fc,Gc)≅∫cC(Fc,[C,Set](C(c,−),G)){藉由 Yoneda 引理}≅∫c[C,Set](Fc⋅C(c,−),G){藉由 copower 的性質}≅[C,Set](∫cFc⋅C(c,−),G){藉由 representable functor 的保持性質}
然而,我們知道 coend 可寫成 ∏c∈CFc⋅C(c,−) 的 coequaliser,証畢。
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