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2013年7月19日 星期五

用 coend 證明所有的 Set-valued functor 都是 representable functors 的上極限

範疇論上有些計算看似非常嚇人,最初看 MacLane 的 Categories for the Working Mathematicians 對我來說完全沒有線索的定理是
所有的 F:CSet 都是 representable functors 的上極限
一來是用意不明;另一點是,證明極其複雜看不出端倪,用兩頁的篇幅證明這個定理,接下來提到 sheave 是這樣的 functor 的特例就結束。然而,如果我們用 coend 來計算,證明會簡短許多,看起來不那麼嚇人。

首先,我們應用 Yoneda 引理,試圖拆解一個 F:CSet 如下:
[C,Set](F,G)cC(Fc,Gc)cC(Fc,[C,Set](C(c,),G)){藉由 Yoneda 引理}c[C,Set](FcC(c,),G){藉由 copower 的性質}[C,Set](cFcC(c,),G){藉由 representable functor 的保持性質}
然而,我們知道 coend 可寫成 cCFcC(c,) 的 coequaliser,証畢。

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