歷史回顧
首先回顧發展公設集合論的動機，羅素悖論（Russell's Paradox）：
令 $V = \{ S : S \not\in S \}$ 為所有不屬於自己的集合，試考慮 $V$ 是否屬於 $V$ 自己？
一般口語的說法是，假若 $V \in V$，則根據 $ V$ 的構造性質，$V \not\in V$；若 $V \not\in V$，則同理得到 $V \in V$，而不論哪一種，都會得到與前提違悖的結果。我們正式地說，考慮 Naive Set Theory，也就是一個帶有 $\in$ 關係以及底下公設模式（Axiom Schema）：對任意用 $x$ 符號為 free variable 的邏輯述句 $P(x)$ 都有
\[\exists y . \forall x . (x \in y \iff P(x))\]
\[\exists y . \forall x . (x \in y \iff P(x))\]
的一階邏輯理論(first-order theory)。 那麼我們考慮 $P(x) = x \not\in x$，以上公設配合一階邏輯會推出\[y \in y \iff y \not\in y\]說明 Naive Set Theory 本身不一致，甚至根據爆炸原理（Principle of Explosion）從而可以證明任何描述，也就是即便 $1\neq 1$這樣的描述都可以成真。很顯然地，這樣的集合論我們沒辦法接受，促使了羅素（B. Russell）發展了型別理論（Type Theory）以及 Zermelo 跟 Fraenkel 發展目前標準的公設集合論——Zermelo–Fraenkel set theory （ZF）。
