稠密範疇（一）

一般拓樸學內說稠密子集合，指的是一個空間 $X$ 內的子集 $D$，凡是 $X$ 內的元素要嘛在 $D$ 裡頭，要嘛是由 $D$ 的 limit point。而給定兩個連續函數 $f, g\colon X \to Y$ 從 $X$ 到一個 Hausdorff 空間 $Y$，若 $f$ 跟 $g$ 在任一個稠密集合相等，則 $f$ 與 $g$ 必定也在 $X$ 相等。類似的概念延伸到範疇上，我們可以定義稠密函子，使得子範疇的 inclusion functor 成為其特例。

首先記得所謂的 comma category：給定兩個函子 $K, S\colon \mathscr{A} \to \mathscr{C}$ ，定義一範疇的物件為所有從 $Ka$ 到 $Sa'$ 的態設，而物件間的態設為一對 $\mathscr{A}$ 上的態設 $f\colon a \to b, g\colon a' \to b'$ 滿足以下的交換圖
$$\xymatrix{   Ka \ar[d]_{Kf} \ar[r] & Sa' \ar[d]^{Sg} \\   Kb \ar[r] & Sb' }$$
而且自然地，我們有兩個 forgetful functor
其中若 $S$ 為常數函子，以上的交換圖則退化成以下的三角交換圖：
$$\xymatrix{ Ka \ar[d]_{Kf} \ar[r] & c \\ Kb \ar[ru] }$$
其中 $f\colon a \to b$。而且自然有一個 forgetful 函子 $P^c$ 將 $Ka \to c$ 對應到 $a$。回到稠密的定義如下：

給定一函子 $K\colon \mathscr{A} \to \mathscr{C}$，若每個 $c \in \mathscr{C}$ 物件，該集合態射 $( f\colon Ka \to c )_{a \in \mathscr{A}}$ 是
$$\left( (K\mathord{\downarrow}c) \xrightarrow{P^c} \mathscr{A} \xrightarrow{K} \mathscr{C} \right)$$
的上極限，我們說 $K$ 是一個稠密函子。

根據此定義，其實就是說明 $id_K \colon K \to K$ 本身即是單位函子（identity functor）的逐點左 Kan  擴張 $\mathrm{Lan}_K K$（pointwise left Kan extension）。然而，我們可以觀察到以下的同構式：對所有的 $d \in \mathscr{C}$ 都有 $$\mathbf{Nat}(KP^c, d) \cong \mathbf{Nat} \left(\mathscr{C}(K-, c), \mathscr{C}(K-, d)\right)$$
任一個 $KP^c$ 到 $d$ 的自然轉換 $\alpha$ 對所有的 $g\colon Ka \to c$ 我們有 $\alpha_{g}\colon Ka \to d$，也就是自 $\mathscr{C}(K-, c)$ 到 $\mathscr{C}(K-, d)$ 的函數，自然性（naturality）則根據 $\alpha$ 的自然性很容易驗證。反過來也是，一個自 $\mathscr{C}(K-, c)$ 到 $\mathscr{C}(K-, d)$ 的自然轉換決定了從 $KP^c$ 到 $d$ 的自然轉換，兩者間的相等很容易就看得出來。所以我們得到另一個稠密函子的描述，先整理符號定義 $K$ 的特殊 Yoneda 嵌入函子（restricted Yoneda embedding）如下 $$\widetilde{K}c = \mathscr{C}(K-, c) \quad\text{且}\quad \widetilde{K}f = f \circ -$$ 則函子的稠密性有以下等價敘述

函子 $K$ 是稠密的若且惟若 $\widetilde{K}$ 是 full 且 faithful，也就是 $$\begin{equation} \label{eq} \widetilde{K}_{c, d} \colon hom(c, d) \xrightarrow{\cong} \mathbf{Nat}\left(\mathscr{C}(K-, c), \mathscr{C}(K-, d) \right) \end{equation}$$

記得 Yoneda Lemma 說明了任意兩物件 $c, d$ 同構若且惟若 $\hom(-, c) \cong \hom(-, d)$，也就是物件由所有的態設所決定，而稠密函子則說明，物件由 $K$ 出發的態設所決定。

舉例來說，我們可以很輕鬆地證明單點集合是 $\mathbf{Set}$ 的稠密子範疇，因為我們有以下的同構式：
$$\begin{align*}   hom(X, Y) \cong hom(hom(1, X), hom(1, Y)) && \{\,\text{根據集合內的元素與 $1 \to X$ 的對應}\,\} \end{align*}$$
另外也可以證明如代數範疇內，free algebras 構成的子範疇也是稠密等。但除了直接檢驗 $\eqref{eq}$ 外，我們還可以用另一項工具稱為稠密表示，而且這項工具也能幫助我們研究由稠密子範疇所決定的範疇以及討論範疇的完備化。（待續）