用 coend 證明所有的 $\mathbf{Set}$-valued functor 都是 representable functors 的上極限

範疇論上有些計算看似非常嚇人，最初看 MacLane 的 Categories for the Working Mathematicians 對我來說完全沒有線索的定理是

所有的 $F\colon \mathscr{C} \to \mathbf{Set}$ 都是 representable functors 的上極限

一來是用意不明；另一點是，證明極其複雜看不出端倪，用兩頁的篇幅證明這個定理，接下來提到 sheave 是這樣的 functor 的特例就結束。然而，如果我們用 coend 來計算，證明會簡短許多，看起來不那麼嚇人。

首先，我們應用 Yoneda 引理，試圖拆解一個 $F\colon \mathscr{C} \to \mathbf{Set}$ 如下：
\[
  \begin{align*}
    & [\mathscr{C}, \mathsf{Set}](F, G) \\
     \cong& \int_c \mathscr{C}(Fc, Gc)\\
     \cong& \int_c \mathscr{C}(Fc, [\mathscr{C}, \mathsf{Set}](\mathscr{C}(c, -), G))
    & \{\text{藉由 Yoneda 引理}\} \\
     \cong &\int_c [\mathscr{C}, \mathsf{Set}](Fc \cdot \mathscr{C}(c, -),
    G)
    & \{\text{藉由 copower 的性質}\}\\
     \cong &[\mathscr{C}, \mathsf{Set}](\int^c Fc \cdot \mathscr{C}(c, -),
    G)
    & \{\text{藉由 representable functor 的保持性質}\}
  \end{align*}
\]
然而，我們知道 coend 可寫成 $\displaystyle{\prod_{c \in \mathscr{C}} Fc \cdot \mathscr{C}(c, -)}$ 的 coequaliser，証畢。